Model A Model B

Model B Zamiast rozważać R(a, b, c) zrezygnujmy z nierówności: i rozważmy − podobnie jak w modelu VI w przypadku spotkania dwóch osób − zbiór: Zbiór ten poza sześcianem Q nie jest ograniczony. Ma jednak pewną zaletę: ma taki sam przekrój dowolną płaszczyzną prostopadłą do przekątnej sześcianu Q łączącej punkty (0, 0, 0) oraz (1, 1, 1) Figurę, która jest tym przekrojem, najwygodniej rozważać po zrzutowaniu bryły T(a, b, c) oraz sześcianu Q na płaszczyznę prostopadłą do przekątnej o końcach (0, 0, 0) oraz (1, 1, 1). Rysunek 5. Rzut sześcianu Q oraz bryły T(a, b, c) na płaszczyznę prostopadłą do przekątnej sześcianu Q przechodzącej przez punkty (0, 0, 0) oraz (1, 1, 1). Zauważmy, że teraz za miarę prawdopodobieństwa spotkania trzech osób X, Y, Z możemy przyjąć stosunek pola sześciokąta będącego rzutem bryły T(a, b, c) na rozważaną płaszczyznę do pola rzutu sześcianu Q na tę płaszczyznę. Rzut ścian sześcianu jest sumą sześciu trójkątów równobocznych o polu: Natomiast rzut bryły T(a, b, c) jest sumą trzech równoległoboków o bokach odpowiednio al i bl, bl i cl, cl i al, których boki tworzą kąt 120 stopni. Stąd suma pól tych równoległoboków wynosi Wobec tego stosunek pól tych figur wynosi Uwaga. Jeśli a, b, c są liczbami z przedziału [0, 1], to P1(a, b, c) jest liczbą z przedziału [0, 1]. Gdy dwie spośród liczb a, b, c są równe zeru, tzn. dwie osoby deklarują się, że po przyjściu ani chwili nie będą czekać, to szanse na spotkanie się trzech osób są równe zeru: Gdy jedna z osób deklaruje się, że nie będzie czekać (np. c=0), to Wynika stąd, że nawet gdy pozostałe dwie osoby deklarują, że będą czekać po przyjściu pełną godzinę, szanse na spotkanie się wszystkich trzech osób są nie większe niż jedna trzecia. Uwaga. Przypomnijmy, że rezygnacja z nierówności oznacza, że niekoniecznie zakładamy, że każda z trzech osób przyjdzie dopiero po godzinie 12 (być może przyjdzie kilka minut wcześniej) i opuści wyznaczone miejsce spotkania najpóźniej o godzinie 13 (możliwe, że zaczeka kilka minut po wybiciu pełnej godziny). Porównajmy model A, w którym wyznaczyliśmy stosunek objętości bryły R(a, a, a) do objętości sześcianu Q wyrażony przez funkcję oraz model drugi, model B, w którym prawdopodobieństwo spotkania trzech osób mierzymy za pomocą stosunku pól powierzchni rzutów bryły T(a, a, a) i sześcianu Q wyrażony przez Narysujmy wykresy funkcji oraz funkcji Zestawmy także wartości obu funkcji w tabeli: Tabela 7. Wartości prawdopodobieństwa spotkania trzech osób deklarujących taki sam czas oczekiwania w modelu A, w którym za miarę prawdopodobieństwa przyjmujemy stosunek objętości brył R(a, a, a) i sześcianu Q (kolumna P) oraz w modelu B, w którym za miarę prawdopodobieństwa spotkania przyjmujemy stosunek pól powierzchni rzutu bryły T(a, a, a) do pola rzutu sześcianu Q (kolumna P_1). Uwaga. Zauważmy, że dla dowolnej liczby 0 ≤ a ≤ 1 zachodzi nierówność: gdyż Oznacza to, że prawdopodobieństwo spotkania w modelu B jest mniejsze niż w modelu A dla 0 ≤ a ≤ 1. Prawdopodobieństwa te są równe tylko dla skrajnych wartości a=0 i a=1. Innymi słowy, przyjmując prostszy rachunkowo model B, w którym zrezygnowaliśmy z wyznaczania objętości bryły R(a, b, b) z modelu A, jesteśmy zmuszeni zadeklarować w modelu B dłuższy czas oczekiwania na przyjście pozostałych osób niż w modelu A, aby z ustalonym prawdopodobieństwem doprowadzić do spotkania trzech osób.