Model A Model B

Model A Rozważmy szanse na spotkanie trzech osób X, Y i Z, które deklarują się, że przyjdą w ustalone miejsce między godziną 12 a 13, i poczekają odpowiednio 60a, 60b, 60c minut. Zdarzenie, że wszystkie trzy osoby spotkają się, opisuje zbiór zawarty w sześcianie o krawędzi jednostkowej który reprezentuje wszystkie możliwe chwile przyjścia x, y, z osób X, Y, Z pomiędzy godziną 12 (którą będziemy określać jako chwila 0), a godziną 13 (chwila 1). Przypadek, w którym każda z trzech osób deklaruje taki sam czas oczekiwania. Rozważmy najpierw przypadek, w którym każda z trzech osób czeka taką sama liczbę minut po przyjściu na miejsce spotkania. Na początek narysujmy osobno wykresy zbiorów punktów (x, y, z) które przedstawiają sytuację spotkania par osób, tj. osoby X z Y, które dojdzie do skutku, gdy chwile x oraz y przyjścia tych osób spełniają nierówność −a ≤ x−y ≤ a, a chwila przyjścia osoby trzeciej Z jest dowolną liczbą z przedziału [0, 1]: Fakt spotkania osób Y i Z opisuje nierówność: −a ≤ y−z ≤ a przy czym x jest dowolną liczbą z przedziału [0, 1]: Natomiast spotkanie osób X i Z opisuje nierówność: −a ≤ x−z ≤ a przy czym y jest dowolną liczbą z przedziału [0, 1]: Zauważmy, że częścią wspólną trzech graniastosłupów jest bryła, która składa się z sześcianu o boku a i trzech graniastosłupów pochyłych, w których podstawie znajduje się kwadrat o boku a i mających wysokość równą 1−a. Zbiór R(a, a, a) ma objętość równą Rysunek 4. Sześcian Q oraz zbiór R(a, a, a) w modelu A. Przedstawmy także model zbioru wykonany z klocków magnetycznych (animacja 6): Przyjmijmy stosunek objętości bryły R(a, a, a) do objętości sześcianu Q za miarę szansy spotkania się osób X, Y, Z. Mamy więc Uwaga. Funkcja przyjmuje dla a∈[0, 1] wartoœci w przedziale od 0 do 1. Uwaga. Gdy a=0, to P(0, 0, 0)=0, co nas nie dziwi, gdyż nie ma szans na spotkanie trzech osób przychodzących o różnych porach x, y, z, gdy żadna z nich nie poczeka na pozostałe ani chwili. Gdy a=0,25 (tzn. osoby X, Y i Z deklarują, że poczekają kwadrans po przyjściu na pozostałe osoby), to Porównajmy to prawdopodobieństwo z prawdopodobieństwem spotkania dwóch osób w modelu czwartym: co w przypadku, gdy a=0,25, daje czyli więcej niż w przypadku trzech osób. Nie powinno to nas dziwić, gdyż umówienie się trzech osób na spotkanie jest bardziej kłopotliwe niż dwóch. Porównajmy wykresy prawdopodobieństw spotkania się dwóch osób w modelu IV (prawdopodobieństwo to wyraża funkcja : oraz w przypadku trzech osób w modelu A (prawdopodobieństwo to wyraża funkcja : gdy każda z nich deklaruje, że poczeka minut po przyjściu. Podajmy także w tabeli, wartości funkcji : Tabela 5. Wartości prawdopodobieństwa (kolumna P) spotkania trzech osób, z których każda czeka na pozostałe dwie osoby nie dłużej niż przez 60a minut (kolumna min) po przyjściu na miejsce spotkania. Korzystając z danych, które zawarliśmy w tabelach 3 i 5, wyznaczmy, ile czasu powinna poczekać każda z trzech osób na dwie pozostałe, aby szanse na spotkanie wynosiły co najmniej: 50%, 60%, 70%, 80%, 90%: Tabela 6. Długość czasu oczekiwania na przyjście pozostałych osób (w kolumnie liczba minut) niezbędna do osiągnięcia prawdopodobieństwa spotkania z prawdopodobieństwem P(a, a) w przypadku grupy dwuosobowej oraz z prawdopodobieństwem P(a, a, a) w przypadku grupy złożonej z trzech osób. Przypadek, w którym każda z trzech osób deklaruje różny czas oczekiwania. Przypadek trzech osób X, Y, Z i dowolnych okresów a, b, c czasu oczekiwania na przyjście pozostałych osób sprowadza się do wyznaczenia objętości bryły co nie jest łatwe. Dlatego zrezygnujmy z nierówności: i rozwišżemy to jak w modelu VI w przypadku spotkania dwóch osób (patrz Model B).