Model I Model II Model III Model IV Model V Model VI

Model IV Rozważmy także przypadek, w którym obie osoby mierzą czas z dokładnością tak wielką, jak tylko jest to możliwe, np. z dokładnością co do sekundy lub większą: Niech będzie zbiorem par liczb oraz oznaczających chwile przyjścia pierwszej i drugiej osoby. Niech , gdzie będzie zbiorem tych chwil przyjścia pierwszej i drugiej osoby, pomiędzy którymi różnica nie przekracza ustalonej z góry przez obie osoby wartości czasu r, po upływie którego osoby odchodzą z miejsca spotkania, jeśli nie doczekają się drugiej osoby. Przyjmijmy za miarę prawdopodobieństwa zdarzenia Ar prawdopodobieństwo geometryczne tego zbioru w zbiorze , czyli iloraz pól tych zbiorów: Rysunek 1. Zbiór Q i jego podzbiór Ar w modelu IV. Zauważmy, że pole figury Ar możemy obliczyć, odejmując od pola kwadratu Q o boku jednostkowym pola dwóch trójkątów prostokątnych równoramiennych o ramionach długości 1−r: lub − co prowadzi do tego samego wyniku − do pola kwadratu o boku r dodać pola dwóch równoległoboków o podstawie r i wysokości 1−r. Stąd prawdopodobieństwo zdarzenia Ar wyraża , gdzie . Narysujmy wykres funkcji: Podajmy wartości tej funkcji dla całkowitej liczby minut: Tabela 4. Wartości prawdopodobieństwa spotkania w przypadku, gdy obie osoby zadeklarują czas oczekiwania równy 60r minut po przyjściu na miejsce spotkania w modelu IV. Wniosek. Jeśli obie osoby odmierzają czas oczekiwania z bardzo dużą dokładnością, to spotkanie dojdzie do skutku z prawdopodobieństwem 50%, jeśli obie osoby zadeklarują, że poczekają co najmniej osiemnaście minut po przyjściu. Natomiast prawdopodobieństwo to wzrośnie do 90% dopiero wtedy, gdy obie zadeklarują oczekiwanie przez kolejnych czterdzieści jeden minut od przyjścia. Zauważmy, że otrzymane wielkości prawie nie różnią się od tych, które otrzymaliśmy w modelu, w którym obie osoby mierzyły czas z dokładnością co do minuty (zob. tabela 3). Uwaga. Im dokładniej obie osoby odmierzają czas wzajemnego oczekiwania na spotkanie w wyznaczonym miejscu, tym szanse na spotkanie maleją. W pierwszym modelu, w którym obie mierzą czas z dokładnością co do kwadransa, szanse na spotkanie przed upływem kwadransa wynoszą 62,5%. Gdy obie osoby mierzą czas z dokładnością do pięciu minut, szanse na spotkanie w przeciągu kwadransa (trzech odcinków czasu po pięć minut) spadają do 50%. W trzecim modelu, w którym mierzą czas z dokładnością co do minuty, szansa na spotkanie w przeciągu kwadransa (piętnastu odcinków o długości jednej minuty każdy) spadają do 45%. Najmniejszą wartość − równą 43,8% - prawdopodobieństwo to osiąga w modelu czwartym, w którym obie osoby bardzo dokładnie odmierzają sobie kwadrans, tj. 15 minut i zero sekund. Uwaga ta − po chwili zastanowienia − nie dziwi: jeśli mierzymy czas z małą dokładnością (np. tak jak w modelu I z dokładnością do kwadransa), jesteśmy skłonni tolerować u siebie samych i u znajomych większe spóźnienie łatwiej, niż w przypadku, gdy czas mierzymy bardzo precyzyjnie − co do sekundy (jak w modelu IV).