Aproksymacja funkcji
Aproksymacja funkcji sumami szeregu Taylora		Aproksymacja jest to przybliżanie funkcji zwanej funkcją aproksymowaną inną funkcją zwaną funkcją aproksymującą. Aproksymacja bardzo często występuje w dwóch przypadkach: gdy funkcja aproksymowana jest przedstawiona w postaci tablicy wartości i poszukujemy dla niej odpowiedniej funkcji ciągłej lub gdy funkcję o dosyć skomplikowanym zapisie analitycznym chcemy przedstawić w "prostszej" postaci. Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych. Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty,Mówi się że funkcja przybliżająca wygładza daną funkcję (gdy funkcja jest gładka, jest też różniczkowalna). Przybliżenie takie powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem bardzo dużego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem) - Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby średni błąd. Odkrywcze i w efekcie bardzo istotne w uchwyceniu zagadnienia o aproksymacji funkcji jest twierdzenie Taylora, które w sposób bardzo obrazowy przedstawia działanie przybliżania funkcji.
Wzór Taylora - przedstawienie funkcji (n+1)-razy różniczkowalnej przy pomocy wielomianu zależnego od kolejnych jej pochodnych oraz dostatecznie małej reszty. Twierdzenia mówiące o możliwości takiego przedstawiania pewnych funkcji (nawet dość abstrakcyjnych przestrzeni) noszą zbiorczą nazwę twierdzeń Taylora, od nazwiska angielskiego matematyka, Brooka Taylora, który opublikował pracę na temat lokalnego przybliżania funkcji rzeczywistych w podany niżej sposób. Ta własność funkcji różniczkowalnych znana była już przed Taylorem - w 1671 odkrył ją James Gregory. W przypadku funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych, przedstawienie oparte o tę własność może przyjąć postać szeregu, zwanego szeregiem Taylora. Twierdzenie Taylora Niech Y będzie przestrzenią unormowaną. Załóżmy, że jest (n+1)-razy różniczkowalna na [a,b] w sposób ciągły. Wówczas dla każdego gdzie spełnia warunek nazywamy resztą (Peano) we wzorze Taylora. Jeśli a = 0, to wzór Taylora nazywamy wzorem Maclaurina. Przybliżanie funkcji przy pomocy wzoru Taylora ma charakter lokalny, tzn. odnosi się jedynie do wybranego punktu a. Jeżeli w zastosowaniach pojawia się potrzeba mówienia o innych wartościach, to zakłada się o nich najczęściej że są dostatecznie bliskie punktu a. Sensowne wydaje się jednak pytanie o to kiedy wielomian ze wzoru Taylora przybliża funkcję ze z góry zadaną dokładnością - w tym celu potrzebne jest dokładniejsze oszacowanie reszty lub po prostu wyrażenie jej w sposób jawny. Reszty we wzorze Taylora wyrażone w sposób jawny W przypadku gdy resztę we wzorze Taylora można wyrazić w sposób jawny. Oto niektóre ze znanych przedstawień reszty: Reszta w postaci całkowej Reszta w postaci Lagrange'a Istnieje takie , że . Lub inaczej, istnieje takie , że . Uwaga: W tym przypadku założenie, że nie jest istotne. Reszta w postaci Cauchy'ego Istnieje takie , że Szacowanie reszty Jeżeli jest (n+1)-krotnie różniczkowalna oraz istnieje takie , że dla , to dla reszty we wzorze Taylora dla f mamy oszacowanie dla . Jeżeli natomiast , jest n-krotnie różniczkowalna oraz jest taką liczbą, że dla , to dla reszty we wzorze Taylora dla f mamy oszacowanie dla . Szereg Taylora Jeśli funkcja , gdzie , tak jak poprzednio, jest przestrzenią unormowaną, ma w punkcie pochodne dowolnego rzędu, to można rozważać szereg , gdzie przyjęto . Szereg ten nazywamy szeregiem Taylora funkcji f. Jeżeli , to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina. Przy założeniu istnienia pochodnych dowolnego rzędu funkcji w punkcie , warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby dla danego szereg Taylora funkcji f był zbieżny do f(x) jest, aby ciąg reszt we wzorze Taylora był zbieżny do zera. Szereg (wzór) Taylora jest efektywnym narzędziem aproksymacji funkcji dostatecznie dużo razy różniczkowalnych. Często do obliczenia przybliżonej wartości funkcji (o wartościach rzeczywistych), liczy się wartość dla m-tej sumy częściowej jej szeregu Taylora. Tak więc przybliżoną wartość funkcji rzeczywistej f, spełniającej powyższe założenia można znaleźć licząc kilka pierwszych wartości: , przy czym błąd jest wtedy nie większy niż: . Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych. Potrzeba przybliżenia danej funkcji inną funkcją pojawia się w wielu zadaniach. Może mieć np. zastosowanie przy obliczaniu funkcji standardowych lub wtedy, gdy funkcja jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem. Jednym z najczęstrzych ze sposobów rozwiązania tego zadania jest przybliżanie funkcji sumami częściowymi ich rozwinięć w szeregi Taylora.
	Powrót do strony zbiorczej	autor: Aleksandra Król (II rok - IM UJ)